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(**) $\sqrt{2}$ et plus généralement $\sqrt[n]{m}$ où $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$ et $m$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$, qui n’est pas une puissance $n$-ième parfaite.

(**) $\log 2$.

(****) $\pi$ (Lambert a montré en 1761 que $\pi$ est irrationnel, Legendre a démontré en 1794 que $\pi^2$ est irrationnel, Lindemann a démontré en 1882 que $\pi$ est transcendant). Pour cela, supposer par l’absurde que $\pi=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Considérer alors $I_n=\int_{0}^{p/q}\frac{x^n(p-qx)^n}{n!}\sin x\;dx$, $n\in\Nn^*$ et montrer que $I_n$ vérifie

$I_n$ est un entier relatif ;

$I_n>0$ ;

$\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0$ (voir devoir).