Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.
(**) \(\sqrt{2}\) et plus généralement \(\sqrt[n]{m}\) où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(m\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\), qui n’est pas une puissance \(n\)-ième parfaite.
(**) \(\log 2\).
(****) \(\pi\) (Lambert a montré en 1761 que \(\pi\) est irrationnel, Legendre a démontré en 1794 que \(\pi^2\) est irrationnel, Lindemann a démontré en 1882 que \(\pi\) est transcendant). Pour cela, supposer par l’absurde que \(\pi=\frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Considérer alors \(I_n=\int_{0}^{p/q}\frac{x^n(p-qx)^n}{n!}\sin x\;dx\), \(n\in\Nn^*\) et montrer que \(I_n\) vérifie
\(I_n\) est un entier relatif ;
\(I_n>0\) ;
\(\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0\) (voir devoir).