On sépare, dans la somme, termes pairs et termes impairs. On fixe \(n\) et on note \(m\) et \(p\) tels que définis dans la question précédente. Remarquons que si \(n\) est pair, \(p = m-1\) et si \(n\) est impair, \(m=p\).

Alors : \[\begin{align*} \sum_{k=1}^n (-1)^k k &= \sum_{\substack{k\in \llbracket 1,\,n\rrbracket\\k \text{ pair}}} (-1)^k k + \sum_{\substack{k\in \llbracket 1,\,n\rrbracket\\k \text{ impair}}} (-1)^k k \\ &= \sum_{i=1}^{m} 2i - \sum_{i=0}^{p} \left(2i+1\right)\\ &= \left \{ {\def\arraystretch{2.2}\begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=1}^m 2i - \sum\limits_{i=0}^{m-1} (2i+1)& \text{ si }& n\text{ est pair}\\\sum\limits_{i=1}^p 2i - \sum\limits_{i=0}^{p} (2i+1)& \text{ si }& n\text{ est impair}\end{array} } \right.\\ &= \left \{ {\def\arraystretch{2.2}\begin{array}{lcl} \sum\limits_{i=1}^{m-1} 2i + 2m - \left(1 + \sum\limits_{i=1}^{m-1} (2i+1)\right)& \text{ si }& n\text{ est pair}\\\sum\limits_{i=1}^p 2i - \left(1+\sum\limits_{i=1}^{p} (2i+1)\right)& \text{ si }& n\text{ est impair}\end{array} } \right.\\ &= \left \{ \begin{array}{lcl} 2m- 1-\sum\limits_{i=1}^{m-1} 1 = m &\text{ si }& n\text{ est pair} \\ -1-\sum\limits_{i=1}^p 1 = -p-1 &\text{ si }& n\text{ est pair}\end{array}\right. \end{align*}\] En remarquant que si \(n\) est pair, \(m=\left [ \dfrac{n}{2}\right]\) et si \(n\) est impair, \(p=\left[ \dfrac{n-1}{2}\right]=\left[ \dfrac{n}{2} \right]\), on en déduit le résultat : \[\boxed{\sum_{k=1}^n (-1)^k k = \left[\frac{n}{2}\right] \text{ si $n$ est pair, } -\left[\frac{n}{2}\right]-1 \text{ si $n$ est impair.}}\]

Une somme plus difficile