On commence par déterminer le domaine de définition : cette inéquation n’a de sens que si \(4y-7\geq 0\), c’est-à-dire \(y\in \left [ \frac{7}{4} +\infty\right [\).

On raisonne ensuite par disjonction de cas :

Premier cas : \(2y-5\leq 0\), c’est-à-dire \(y\leq \frac{5}{2}\). Dans ce cas, l’inéquation est vérifiée (puisqu’une racine est toujours positive). Ainsi, l’inéquation est vérifiée si \(y\in \left[ \frac{7}{4},\, \frac{5}{2}\right]\).
Deuxième cas : \(2y-5\geq 0\). Dans ce cas, l’inéquation est équivalente à \((2y-5)^2 \leq \sqrt{4y-7}^2\), c’est-à-dire \[(2y-5)^2 \leq 4y-7 \Longleftrightarrow 4y^2-24y+32\leq 0 \Longleftrightarrow y^2-6y+8\leq 0\] Les solutions de cette inéquation est \(\left[2,\,4\right]\), mais on a \(2y-5\geq 0\), c’est-à-dire \(y\geq \frac{5}{2}\). Ainsi, sur cet intervalle, les solutions sont \(\left[ \frac{5}{2},\, 4\right]\).

On conclut : l’ensemble des solutions de cette inéquation est donc \[\boxed{\mathcal{S}}=\left[ \frac{7}{4},\,\frac{5}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2},\,4\right] = \boxed{\left[ \frac{7}{4},\, 4\right]}\]

Inéquation et racines