Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l’avance) sur l’horaire officiel du bus à une station donnée est donné par une variable aléatoire \(X\), en minutes, suivant une loi normale \(\mathcal{N}(5,\sigma)\) où \(\sigma >0\) est pour l’instant indéterminé. Cependant, on sait que la probabilité que le retard soit inférieur à \(7\) minutes est de \(p=84{,}13\%\).
Justifier que \(\sigma = 2\).
Sachant que le retard est supérieur à \(3\) minutes, quelle est la probablité que ce retard soit inférieur à \(7\) minutes ?
Une dame fréquente cette ligne de bus une fois par jour pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont indépendants. On note \(Y\) le nombre de jours où la dame a attendu moins de \(7\) minutes.
Déterminer la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.
Soit \(T\) la variable aléatoire définie de la manière suivante : si la dame attend moins de \(7\) minutes chaque jour pendant les 10 jours, \(T\) prend la valeur \(0\) ; sinon \(T\) pend la valeur du \(k\)-ème jour (\(k \in \{1,...,10\}\)) où pour la première fois, la dame attend plus de \(7\) minutes. Déterminer, en fonction de \(p\), la loi de probabilité de \(T\).