Soit $\phi$ un déplacement préservant $\mathcal S$ . C’est une translation ou une rotation.

Si $\phi$ est une translation de vecteur $\vec v$ , alors $\vec v$ est horizontal (s’il avait une composante verticale, alors pour $n$ grand et $s\in \mathcal S$ , le point $\phi^n(s)$ aurait une ordonnée qui n’appartiendrait pas à $[-1;1]$ ce qui est impossible. Si $\vec v$ est horizontal, on en déduit que $||\vec v||$ soit être une période de sinus, donc un multiple de $2\pi$ . Réciproquement, toute translation horizontale d’un multiple de $2\pi$ est une isométries de $\mathcal S$ . Si $\phi$ est une rotation, alors son centre est un point de la forme $(n\pi,0)$ pour un certain $n\in \Z$ , et l’angle est $\pi$ , autrement dit $\phi$ est une symétrie centrale. Réciproquement, les symétries centrales de centres les points $(n\pi,0)$ pour $n\in \Z$ sont dans $G$ . La composée de deux telles symétries est une des translations trouvées plus haut.

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