Soit \(\phi\) un déplacement préservant \(\mathcal S\). C’est une translation ou une rotation.

Si \(\phi\) est une translation de vecteur \(\vec v\), alors \(\vec v\) est horizontal (s’il avait une composante verticale, alors pour \(n\) grand et \(s\in \mathcal S\), le point \(\phi^n(s)\) aurait une ordonnée qui n’appartiendrait pas à \([-1;1]\) ce qui est impossible. Si \(\vec v\) est horizontal, on en déduit que \(||\vec v||\) soit être une période de sinus, donc un multiple de \(2\pi\). Réciproquement, toute translation horizontale d’un multiple de \(2\pi\) est une isométries de \(\mathcal S\). Si \(\phi\) est une rotation, alors son centre est un point de la forme \((n\pi,0)\) pour un certain \(n\in \Z\), et l’angle est \(\pi\), autrement dit \(\phi\) est une symétrie centrale. Réciproquement, les symétries centrales de centres les points \((n\pi,0)\) pour \(n\in \Z\) sont dans \(G\). La composée de deux telles symétries est une des translations trouvées plus haut.

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