Soit \(f:\Cc \to \Cc\) une fonction entière (c’est-à-dire holomorphe).
1
Soit \(\alpha\) un réel, \(\alpha>0\). On suppose que pour tout \(z\in \Cc\) on a \(\vert f(z) \vert \ne \alpha\). Démontrer que, ou bien \(\forall z\in \Cc : \vert f(z) \vert < \alpha\), ou bien \(\forall z\in \Cc : \vert f(z) \vert > \alpha\). En déduire que \(f\) est constante.
2
On suppose ici que \(f\) n’est pas constante.
3
Démontrer que \(\inf_{z\in \Cc} \vert f(z) \vert = 0\) et \(\sup_{z\in \Cc} \vert f(z) \vert = + \infty\).
4
Démontrer que \(\{ \ \vert f(z) \vert \ ,\ z\in \Cc\,\}\) est soit \(]0,+\infty[\), soit \([0,+\infty[\). Donner un exemple dans chacun des deux cas.