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Soit $\alpha$ un réel, $\alpha>0$. On suppose que pour tout $z\in \Cc$ on a $\vert f(z) \vert \ne \alpha$. Démontrer que, ou bien $\forall z\in \Cc : \vert f(z) \vert < \alpha$, ou bien $\forall z\in \Cc : \vert f(z) \vert > \alpha$. En déduire que $f$ est constante.

On suppose ici que $f$ n’est pas constante.

Démontrer que $\inf_{z\in \Cc} \vert f(z) \vert = 0$ et $\sup_{z\in \Cc} \vert f(z) \vert = + \infty$.

Démontrer que $\{ \ \vert f(z) \vert \ ,\ z\in \Cc\,\}$ est soit $]0,+\infty[$, soit $[0,+\infty[$. Donner un exemple dans chacun des deux cas.