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Vérifier l’énoncé pour l’application $\Delta\to\Cc$, $z\mapsto \frac{1}{z^6-1}$.

Supposons d’abord que $f$ n’a pas de zéro dans $\Delta$. Soit $r_n$ une suite de réels de $[0,1[$, tels que pour tout entier naturel non nul $n$ et tout $z$ de $\Delta$ de module supérieur à $r_n$, $f(z)$ est de module supérieur à $n$. Montrer alors que pour tout $n$, $|f(0)|\geq n$ et conclure.

Dans le cas général, supposons que $|f(z)|$ tende vers $+\infty$ quand $|z|$ tend vers $1$. Montrer qu’on peut écrire $f$ comme produit sur $\Delta$ d’un polynôme et d’une application holomorphe $g$ qui n’a pas de zéro dans $\Delta$. Conclure.