$\begin{align*}\ensuremath P&=X^6-2X^3\cos a+1=(X^3-e^{ia})(X^3-e^{-ia})\\ &=(X-e^{ia/3})(X-je^{ia/3})(X-j^2e^{ia/3})(X-e^{-ia/3})(X-je^{-ia/3})(X-j^2e^{-ia/3})\\ &=(X^2-2X\cos\frac{a}{3}+1)(X^2-2X\cos(\frac{a}{3}+\frac{2\pi}{3})+1)(X^2-2X\cos(\frac{a}{3}-\frac{2\pi}{3})+1) \end{align*}$

Il reste à se demander 1) si les facteurs précédents sont irréductibles sur $\Rr$ et 2) si ces facteurs sont deux à deux distincts.

Les trois facteurs de degré $2$ ont un discriminant réduit du type $\Delta'=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha$ et $\Delta'$ est nul si et seulement si $\alpha$ est dans $\pi\Zz$ .

Les cas particuliers sont donc ( $\frac{a}{3}$ est dans $\pi\Zz$ et donc $a=0$ ) et ( $\frac{a+2\pi}{3}$ est dans $\pi\Zz$ et donc $a=\pi$ ) et ( $\frac{a-2\pi}{3}$ est dans $\pi\Zz$ ce qui n’a pas de solution dans $[0,\pi]$ ).

1er cas. Si $a=0$ .

$P=(X^2-2X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1)=(X-1)^2(X^2+X+1)^2.$
2ème cas. Si $a=\pi$ , en remplaçant $X$ par $-X$ on obtient :

$P=(X+1)^2(X^2-X+1)^2.$
3ème cas. Si $a$ est dans $]0,\pi[$ , les trois facteurs de degré $2$ sont irréductibles sur $\Rr$ et clairement deux à deux distincts. Donc

$P=(X^2-2X\cos\frac{a}{3}+1)(X^2-2X\cos\frac{a+2\pi}{3}+1)(X^2-2X\cos\frac{a-2\pi}{3}+1).$

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