$K=\frac{X+1}{X^4+1}$ .

Ici, il n’y a pas de partie polynomiale puisque le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Le dénominateur admet quatre racines complexes $e^{\frac{i\pi}{4}}$ , $e^{\frac{3i\pi}{4}}$ , $e^{\frac{5i\pi}{4}}=e^{-\frac{3i\pi}{4}}$ et $e^{\frac{7i\pi}{4}}=e^{-\frac{i\pi}{4}}$ . En regroupant les racines complexes conjuguées, on obtient sa factorisation sur $\Rr$ : $\begin{aligned} X^4+1 &=& \big( (X-e^{\frac{i\pi}{4}})(X-e^{-\frac{i\pi}{4}}) \big)\big( (X-e^{\frac{3i\pi}{4}})(X-e^{-\frac{3i\pi}{4}}) \big) \\ &=&\big(X^2-2\cos\tfrac{\pi}{4}+1\big)\big(X^2-2\cos\tfrac{3\pi}{4}+1\big)\\ &=&(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1) \end{aligned}$ Puisque les deux facteurs $(X^2-\sqrt{2}X+1)$ et $(X^2+\sqrt{2}X+1)$ sont irréductibles sur $\R$ , la décomposition en éléments simples de $K$ est de la forme $K=\frac{aX+b}{X^2-\sqrt{2}X+1}+\frac{cX+d}{X^2+\sqrt{2}X+1}$ .

En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients avec ceux de $K=\frac{X+1}{X^4+1}$ , on obtient le système $\left\{\begin{array}{l} a+c=0\\ \sqrt{2}a+b-\sqrt{2}c+d=0\\ a+\sqrt{2}b+c-\sqrt{2}d=1\\ b+d=1 \end{array}\right.$ Système que l’on résout en $a=\frac{-\sqrt{2}}{4}$ , $c=\frac{\sqrt{2}}{4}$ , $b=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ et $d=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$ . Ainsi $\frac{X+1}{X^4+1} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}X+\frac{2+\sqrt{2}}{4}}{X^2-\sqrt{2}X+1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}X+\frac{2-\sqrt{2}}{4}}{X^2+\sqrt{2}X+1}$

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