\(K=\frac{X+1}{X^4+1}\).

Ici, il n’y a pas de partie polynomiale puisque le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Le dénominateur admet quatre racines complexes \(e^{\frac{i\pi}{4}}\), \(e^{\frac{3i\pi}{4}}\), \(e^{\frac{5i\pi}{4}}=e^{-\frac{3i\pi}{4}}\) et \(e^{\frac{7i\pi}{4}}=e^{-\frac{i\pi}{4}}\). En regroupant les racines complexes conjuguées, on obtient sa factorisation sur \(\Rr\): \[\begin{aligned} X^4+1 &=& \big( (X-e^{\frac{i\pi}{4}})(X-e^{-\frac{i\pi}{4}}) \big)\big( (X-e^{\frac{3i\pi}{4}})(X-e^{-\frac{3i\pi}{4}}) \big) \\ &=&\big(X^2-2\cos\tfrac{\pi}{4}+1\big)\big(X^2-2\cos\tfrac{3\pi}{4}+1\big)\\ &=&(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)\end{aligned}\] Puisque les deux facteurs \((X^2-\sqrt{2}X+1)\) et \((X^2+\sqrt{2}X+1)\) sont irréductibles sur \(\R\), la décomposition en éléments simples de \(K\) est de la forme \(K=\frac{aX+b}{X^2-\sqrt{2}X+1}+\frac{cX+d}{X^2+\sqrt{2}X+1}\).

En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients avec ceux de \(K=\frac{X+1}{X^4+1}\), on obtient le système \[\left\{\begin{array}{l} a+c=0\\ \sqrt{2}a+b-\sqrt{2}c+d=0\\ a+\sqrt{2}b+c-\sqrt{2}d=1\\ b+d=1 \end{array}\right.\] Système que l’on résout en \(a=\frac{-\sqrt{2}}{4}\), \(c=\frac{\sqrt{2}}{4}\), \(b=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\) et \(d=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\). Ainsi \[\frac{X+1}{X^4+1} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}X+\frac{2+\sqrt{2}}{4}}{X^2-\sqrt{2}X+1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}X+\frac{2-\sqrt{2}}{4}}{X^2+\sqrt{2}X+1}\]

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