Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que \(P(x) \ge 0\) pour tout \(x \in {\R}\).
Montrer qu’il existe \(S,T \in {\R}[X]\) tels que \(P=S^2+T^2\) (on utilisera la factorisation dans \({\C}[X]\)). Indications :
1
Soient \(a,b \in \mathbb{R}\), déterminer \(c,d \in \mathbb{R}\) tels que : \(ab = c^{2}-d^{2}\), vérifier que \((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}) = (ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}\).
2
Résoudre le problème pour \(P\) de degré 2.
3
Conclure.