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Soit $P$ un polynôme de ${\R}[X]$ tel que $P(x) \ge 0$ pour tout $x \in {\R}$ .

Montrer qu’il existe $S,T \in {\R}[X]$ tels que $P=S^2+T^2$ (on utilisera la factorisation dans ${\C}[X]$ ). Indications :

Soient $a,b \in \mathbb{R}$ , déterminer $c,d \in \mathbb{R}$ tels que : $ab = c^{2}-d^{2}$ , vérifier que $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}) = (ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}$ .