Si \((x,y,z)\) est solution du système proposé noté \((S)\), alors \(x\), \(y\) et \(z\) sont deux à deux distincts. En effet, si par exemple \(x=y\) alors \(7=y^2+yz+z^2=x^2+xz+z^2=13\) ce qui est impossible. Donc,

\[(S)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y^3-z^3=7(y-z)\\ z^3-x^3=13(z-x)\\ x^3-y^3=3(x-y) \end{array} \right..\]

En additionnant les trois équations, on obtient \(-10x+4y+6z=0\) ou encore \(-5x+2y+3z=0\). Donc,

\[\begin{align*}\ensuremath (S)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}(5x-3z)\\ (\frac{1}{2}(5x-3z))^2+\frac{1}{2}(5x-3z)z+z^2=7\\ z^2+zx+x^2=13\\ x^2+\frac{1}{2}(5x-3z)x+(\frac{1}{2}(5x-3z))^2=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}(5x-3z)\\ 25x^2-20xz+7z^2=28\\ z^2+zx+x^2=13\\ 39x^2-36xz+9z^2=12 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}(5x-3z)\\ xz=13-x^2-z^2\\ 25x^2-20(13-x^2-z^2)+7z^2=28\\ 39x^2-36(13-x^2-z^2)+9z^2=12 \end{array} \right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{1}{2}(5x-3z)\\ xz=13-x^2-z^2\\ 5x^2+3z^2=32 \end{array} \right. \end{align*}\]

Soit \((S')\) le système formé des deux dernières équations. On note que \(x=0\) ne fournit pas de solution et donc

\[\begin{align*}\ensuremath (S')&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} z^2=\frac{1}{3}(32-5x^2)\\ xz=13-x^2-\frac{1}{3}(32-5x^2) \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} z=\frac{2x^2+7}{3x}\\ \frac{(2x^2+7)^2}{9x^2}=\frac{1}{3}(32-5x^2) \end{array} \right. \end{align*}\]

La deuxième équation s’écrit \((2x^2+7)^2=3x^2(32-5x^2)\) puis \(19x^4-68x^2+49=0\) puis \(x^2=\frac{34\pm15}{19}\) D’où les solutions \(x=1\) ou \(x=-1\) ou \(x=\sqrt{\frac{49}{19}}\) ou \(x=-\sqrt{\frac{49}{19}}\). Puis, les quatre triplets solutions du système : \((1,-2,3)\), \((-1,2,-3)\), \((\frac{7}{\sqrt{19}},\frac{1}{\sqrt{19}},\frac{11}{\sqrt{19}})\) et \((-\frac{7}{\sqrt{19}},-\frac{1}{\sqrt{19}},-\frac{11}{\sqrt{19}})\).

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