Commençons par remarquer que si \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes qui conviennent, alors pour tout \(z\in\Cc^*\), \(P\left(z+\frac{1}{z}\right)-Q\left(z+\frac{1}{z}\right)=0\). En appliquant cette égalité à \(z=e^{i\theta}\), on obtient \((P-Q)(2\cos\theta)=0\). Le polynôme \(P-Q\) a une infinité de racines, donc il est nul, ce qui montre \(P=Q\). Montrons l’existence de \(P\) par récurrence forte sur \(n\):

Pour \(n=0\), \(P=2\) convient et pour \(n=1\), \(P=X\) convient. Passage des rangs \(k\le n\) au rang \(n+1\). Si on note \(P_k\) le polynôme construit pour \(k\le n\), on a \[z^{n+1}+\frac{1}{z^{n+1}}=(z+\frac{1}{z})(z^n+\frac{1}{z^n})-(z^{n-1}+\frac{1}{z^{n-1}}) =(z+\frac{1}{z})P_n(z+\frac{1}{z})-P_{n-1}(z+\frac{1}{z})\] donc \(P_{n+1}(X)=XP_n(X)-P_{n-1}(X)\) convient. On a ainsi construit \(P_n\) pour tout \(n\) (avec \(\deg P_n =n\)).

Fixons \(n\) et notons \(P\) le polynôme obtenu. Pour tout \(\theta\in\R\), \(P(e^{i\theta}+e^{-i\theta})=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\) donc \(P(2\cos(\theta))=2\cos(n\theta)\).

En posant \(x=2\cos(\theta)\) et donc \(\theta = \Arccos(\frac x2)\) on obtient la relation Ainsi, \[P(x)=2\cos(n\Arccos(\frac x2)) \qquad \forall x\in[-2,2]\] Le polynôme dérivée est \(P'(x)=\frac{n}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}\sin(n\Arccos(\frac x2))\), il s’annule en changeant de signe en chaque \(\alpha_k = 2\cos(\frac{k\pi}{n})\), ainsi \(P'(\alpha_k)=0\) pour \(k = 0,\ldots,n\).

On calcule aussi que \(P(\alpha_k) = \pm 2\). Le tableau de signe montre que \(P\) est alternativement croissante (de \(-2\) à \(+2\)) puis décroissante (de \(+2\) à \(-2\)) sur chaque intervalle \([\alpha_{k+1}, \alpha_k]\), qui forment une partition de \([-2,2]\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(P\) possède \(n\) racines simples (une dans chaque intervalle \([\alpha_{k+1}, \alpha_k]\)) dans \([-2,2]\). Puisque \(P\) est de degré \(n\), on a ainsi obtenu toutes ses racines.

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