L1 Algèbre Polynôme, fraction rationnelle Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

Décomposition d'une fraction rationnelle

Soit le polynôme P∈R[X]P \in \R[X] défini par : P(X)=(X2+1)2−X2.P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.

1

Démontrer l’égalité P(X)=(X2+X+1)(X2−X+1)P(X)=(X^2+X+1)(X^2-X+1).

2

Déterminer les racines réelles ou complexes des polynômes X2+X+1X^2+X+1 et X2−X+1X^2-X+1.

3

Déterminer des constantes a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \R telles que : 1P(X)=aX+bX2+X+1+cX+dX2−X+1.\frac{1}{P(X)}=\frac{aX+b}{X^2+X+1}+\frac{cX+d}{X^2-X+1}.

Exercice a40A

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