Dans \(\R^{n}\), on désigne par \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique. A une permutation \(\sigma\in\mathcal{S}_n\), on associe l’endomorphisme \(u_{\sigma}\) de \(\R^{n}\) suivant : \[u_{\sigma}~: \begin{array}{rcl} \R^{n} & \rightarrow & \R^{n} \\ \left(\begin{smallmatrix} x_{1}\\\vdots\\x_{n} \end{smallmatrix}\right) &\mapsto & \left(\begin{smallmatrix} x_{\sigma(1)}\\\vdots\\x_{\sigma(n)} \end{smallmatrix}\right) \end{array}\]
Soit \(\tau=(ij)\) une transposition. Écrire la matrice de \(u_{\tau}\) dans la base canonique. Montrer que \(\det(u_{\tau})=-1\).
Montrer que \(\forall\sigma,\sigma'\in\mathcal{S}_n,\ u_{\sigma}\circ u_{\sigma'}=u_{\sigma\circ\sigma'}\).
En déduire que \(\forall\sigma\in\mathcal{S}_n,\ \det u_{\sigma}=\epsilon(\sigma)\) où \(\epsilon\) désigne la signature.