L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

exo7 1408

Dans Rn\R^{n}, on désigne par (e1,...,en)(e_{1},...,e_{n}) la base canonique. A une permutation σ∈Sn\sigma\in\mathcal{S}_n, on associe l’endomorphisme uσu_{\sigma} de Rn\R^{n} suivant : uσ :Rn→Rn(x1⋮xn)↦(xσ(1)⋮xσ(n))u_{\sigma}~: \begin{array}{rcl} \R^{n} & \rightarrow & \R^{n} \\ \left(\begin{smallmatrix} x_{1}\\\vdots\\x_{n} \end{smallmatrix}\right) &\mapsto & \left(\begin{smallmatrix} x_{\sigma(1)}\\\vdots\\x_{\sigma(n)} \end{smallmatrix}\right) \end{array}

1

Soit τ=(ij)\tau=(ij) une transposition. Écrire la matrice de uτu_{\tau} dans la base canonique. Montrer que det⁡(uτ)=−1\det(u_{\tau})=-1.

2

Montrer que ∀σ,σ′∈Sn, uσ∘uσ′=uσ∘σ′\forall\sigma,\sigma'\in\mathcal{S}_n,\ u_{\sigma}\circ u_{\sigma'}=u_{\sigma\circ\sigma'}.

3

En déduire que ∀σ∈Sn, det⁡uσ=ϵ(σ)\forall\sigma\in\mathcal{S}_n,\ \det u_{\sigma}=\epsilon(\sigma) où ϵ\epsilon désigne la signature.

Exercice wfIh

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