On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si \((K\setminus \{0\},\times)\) est un groupe (non nécessairement commutatif). On vérifiera rapidement que la théorie des espaces vectoriels est inchangée si on remplace le corps de base par un corps gauche. L’objet de l’exercice est de démontrer le théorème de Wedderburn : tout corps gauche fini est commutatif.
Pour \(n\in \N ^*\), soit \({\cal P}_n\) l’ensemble des racines \(n\)-èmes primitives de l’unité dans \(\C\). On pose \(\Phi_1(X)=X-1\) et \(\Phi_n(X)=\prod_{\zeta \in {\cal P}_n}(X-\zeta)\). \(\Phi_n\) est appelé le \(n\)-ème polynôme cyclotomique (son degré est \(\phi (n)\) où \(\phi\) est l’indicateur d’Euler).
Démontrer : \((\forall\ n\in \N ^*)\ X^n-1 = \prod_{d|n} \Phi_d(X)\). En déduire, par récurrence, que \(\Phi_n(X)\) a tous ses coefficients dans \(\Z\).
Calculer explicitement \(\Phi_n(X)\) pour \(n\le 16\).
Démontrer que, pour \(p\) premier et \(\alpha \in \N ^*\), \(\Phi_{p^\alpha}(X)= \sum_{k=0}^{p-1}X^{kp^{\alpha -1}}\).
Calculer le terme constant de chaque \(\Phi_n\).
Montrer que, si \(d<n\) et \(d\) divise \(n\), alors \(X^d-1\) divise
\(X^n-1\) dans \(\Z [X]\), puis que \(\Phi_n(X)\) divise \(X^n-1\) et
\(\frac{X^n-1}{X^d-1}\) dans \(\Z [X]\).
On considère \(K\) un corps gauche fini et \(Z(K)\) son centre, de cardinal \(q\).
Montrer que \(Z(K)\) est un corps commutatif.
Montrer que \(K\) est un \(Z(K)\)-espace vectoriel de dimension finie, notée \(n\). Donner alors le cardinal de \(K\) en fonction de \(q\) et \(n\).
Soit \(a\in K\setminus \{0\}\). On note \(C_a=\{x\in K\,|\,ax=xa\}\).
Montrer que \(C_a\) est un corps gauche, puis que c’est un
\(Z(K)\)-espace vectoriel de dimension finie \(d\) divisant \(n\) (on
montrera pour cela que \(K\) est un \(C_a\)-espace vectoriel et l’on
étudiera sa dimension).
On fait opérer le groupe multiplicatif \(K^*\) sur lui-même par automorphismes intérieurs.
En considérant les orbites selon cette opération montrer que l’on a :
\[q^n-1=q-1+\sum_{i=1}^k \frac{q^n-1}{q^{d_i}-1} \text{ avec, pour tout }i,\ d_i|n.\]
En déduire que \(\Phi_n(q)\) divise \(q-1\).
En étudiant \(|\Phi_n(q)|\) montrer que \(n=1\).