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Démontrer : $(\forall\ n\in \N ^*)\ X^n-1 = \prod_{d|n} \Phi_d(X)$. En déduire, par récurrence, que $\Phi_n(X)$ a tous ses coefficients dans $\Z$.

Calculer explicitement $\Phi_n(X)$ pour $n\le 16$.

Démontrer que, pour $p$ premier et $\alpha \in \N ^*$, $\Phi_{p^\alpha}(X)= \sum_{k=0}^{p-1}X^{kp^{\alpha -1}}$.

Calculer le terme constant de chaque $\Phi_n$.

Montrer que, si $d<n$ et $d$ divise $n$, alors $X^d-1$ divise $X^n-1$ dans $\Z [X]$, puis que $\Phi_n(X)$ divise $X^n-1$ et $\frac{X^n-1}{X^d-1}$ dans $\Z [X]$.
On considère $K$ un corps gauche fini et $Z(K)$ son centre, de cardinal $q$.

Montrer que $Z(K)$ est un corps commutatif.

Montrer que $K$ est un $Z(K)$-espace vectoriel de dimension finie, notée $n$. Donner alors le cardinal de $K$ en fonction de $q$ et $n$.

Soit $a\in K\setminus \{0\}$. On note $C_a=\{x\in K\,|\,ax=xa\}$.
Montrer que $C_a$ est un corps gauche, puis que c’est un $Z(K)$-espace vectoriel de dimension finie $d$ divisant $n$ (on montrera pour cela que $K$ est un $C_a$-espace vectoriel et l’on étudiera sa dimension).

On fait opérer le groupe multiplicatif $K^*$ sur lui-même par automorphismes intérieurs.
En considérant les orbites selon cette opération montrer que l’on a : $$q^n-1=q-1+\sum_{i=1}^k \frac{q^n-1}{q^{d_i}-1} \text{ avec, pour tout }i,\ d_i|n.$$

En déduire que $\Phi_n(q)$ divise $q-1$.

En étudiant $|\Phi_n(q)|$ montrer que $n=1$.