Soit \(E\) un ensemble, et \(\cal F\) l’ensemble des relations binaires sur \(E\). Pour \(R,S \in \cal F\), on définit la relation \(R\ast S\) par : \[x (R\ast S) y \iff \exists\ z \in E\text{ tq }x R z\text{ et }z S y.\]
A toute fonction \(f : E \to E\), on associe la relation : \(y R_f x \iff y = f(x)\).
1
Montrer que \(\ast\) est associative, mais non commutative en général.
2
Simplifier \(R_f \ast R_g\).
3
Est-ce que \(\ast\) admet un élément neutre ?