Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(2n\) (\(n\geq 2\)), possédant 2 sous-groupe \(H\) et \(H^{\prime }\) tels que : \[\mathrm{Card}(H)=\mathrm{Card}(H^{\prime })=n\] et \[H\cap H^{\prime }=\{e\}.\]
1
Montrer que \(G-(H\cup H^{\prime })\) est un singleton, noté \(\{a\}.\)
2
Soit \(h\in H-\{e\}\), montrer que \(hH^{\prime }\subset \{h,a\}\), en déduire que \(hH^{\prime }=\{h,a\}\) puis que \(n=2.\)
3
On écrit \(G=\{a,e,h,h^{\prime }\},\) donner la table de \(G\) (puis un exemple d’un tel groupe).