Soit $f$ une fonction croissante $[a,b]$ . Pour montrer que $f$ est Riemann-intégrable, il suffit de trouver, pour tout $\varepsilon>0$ donné, une subdivision de $[a, b]$ telle que $\overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} < \varepsilon$ . Soit $\sigma=\{a_{0}=a < \dots < a_{n} = b\}$ la subdivision régulière de $[a,b]$ , de pas $\left(\frac{b-a}{n}\right)$ . On a $\begin{equation} \inf_{]a_{k-1}, a_{k}[} f = f(a_{k-1}) \quad \text{et} \quad \sup_{]a_{k-1}, a_{k}[} f = f(a_{k}). \end{equation}$ Ainsi : $\begin{aligned} \overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} &=& \sum_{k=1}^{n} (a_{k} - a_{k-1})\left( f(a_{k}) - f(a_{k-1}) \right) \\ &= &\left(\frac{b-a}{n}\right) \sum_{k=1}^{n}\left( f(a_{k}) - f(a_{k-1}) \right)\\& =& \left(\frac{b-a}{n}\right)\left(f(b)- f(a)\right). \end{aligned}$ Pour $n$ assez grand, la subdivision régulière de $[a,b]$ satisfait $\overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} < \varepsilon$ . D’autre part, si $g$ est décroissante, $f = -g$ est croissante, donc $g$ est Riemann-intégrable par l’exercice précédent (question 2.) avec $\lambda = -1$ .

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