Une entreprise de transport maritime mesure la profondeur de corrosion, en millimètres, sur des coques de navires. On modélise cette profondeur par une variable aléatoire \(X\) de loi uniforme sur \([0;\theta]\), où \(\theta>0\) est inconnu. Sa densité est \[f_\theta(x)=\begin{cases}\frac1\theta&\text{si }0\leq x\leq\theta,\\[2pt] 0&\text{sinon.}\end{cases}\] On dispose d’un échantillon \((X_1,\ldots,X_n)\) de mesures indépendantes de même loi que \(X\), de valeurs observées \(x_1,\ldots,x_n\geq0\). On note \(m=\max(x_1,\ldots,x_n)\), supposé strictement positif.
Exprimer la vraisemblance \(L(\theta)=L(x_1,\ldots,x_n,\theta)\) en fonction de \(\theta\), en distinguant les cas \(\theta<m\) et \(\theta\geq m\).
Étudier les variations de \(L\) sur \(]0;+\infty[\) et en déduire l’estimation \(\widehat\theta_{\mathrm{obs}}\) du maximum de vraisemblance. Pourquoi ne peut-on pas l’obtenir en annulant la dérivée ?
En déduire l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\widehat\Theta_n\).
On admet que \(\mathbb E(\widehat\Theta_n)=\frac n{n+1}\theta\). L’estimateur \(\widehat\Theta_n\) est-il sans biais ? Proposer un estimateur sans biais \(\widetilde\Theta_n\) de \(\theta\).
On observe 5 mesures : \(2{,}3\) ; \(3{,}1\) ; \(2{,}8\) ; \(3{,}5\) ; \(2{,}6\) mm. Calculer les estimations \(\widehat\theta_{\mathrm{obs}}\) et \(\widetilde\theta_{\mathrm{obs}}\).