Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\) où \(p \in ]0;1[\). On considère un \(n\)-échantillon de \(X\) et on note \(\overline{X}\) sa moyenne empirique. On pose \(Y = n\overline{X}\).
1
Exprimer \(\mathbb{E}(Y)\) et \(\mathbb{E}(Y^2)\) en fonction de \(n\) et \(p\).
2
On pose \(Z = \overline{X}^2\). Peut-on dire que \(Z\) est un estimateur sais biais de \(p^2\) ?
3
On pose \(T = \frac{Y(Y-1)}{n(n-1)}\). Vérifier que \(T\) est un estimateur sans biais de \(p^2\).