Soit \(X_1, \ldots, X_n\) des variables aléatoires i.i.d. de densité commune \[f_\theta(x) = \frac{1}{2}e^{-|x-\theta|}, \quad \theta \in \mathbb{R}.\] On note \(X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \cdots \leq X_{(n)}\) les statistiques d’ordre associées à l’échantillon.
Écrire la vraisemblance \(L(\theta)\) et la log-vraisemblance \(\ell(\theta)\). Montrer que maximiser \(\ell(\theta)\) est équivalent à minimiser \[g(\theta) = \sum_{i=1}^n |X_i - \theta|.\]
Montrer que la fonction \(\theta \mapsto |x - \theta|\) est convexe pour tout \(x \in \mathbb{R}\), et en déduire que \(g\) est convexe.
Montrer que \(g\) est dérivable sur chaque intervalle ouvert \((X_{(k)}, X_{(k+1)})\) pour \(k = 0, 1, \ldots, n\) (avec la convention \(X_{(0)} = -\infty\) et \(X_{(n+1)} = +\infty\)), et calculer \(g'(\theta)\) sur chacun de ces intervalles en fonction de \(k\).
Étudier le signe de \(g'(\theta)\) sur chaque intervalle et en déduire les variations de \(g\). Montrer que \(g\) est décroissante puis croissante, et identifier l’intervalle (ou le point) où \(g\) atteint son minimum.
Distinguer les deux cas \(n\) impair et \(n\) pair pour identifier précisément le ou les minimiseurs de \(g\).
Rappeler la définition de la médiane empirique \(\mathrm{med}(X_1, \ldots, X_n)\) et conclure que l’estimateur du maximum de vraisemblance est \[\hat{\theta}_{MV} = \mathrm{med}(X_1, \ldots, X_n).\]