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Soit $E =\{ f:[0,1] \rightarrow \Rr \;\; \text{continue} \}$. On munit $E$ de la métrique $d_\infty (f,g) = \sup_{t\in [0,1]} |f(t)-g(t)|$. Montrer que la boule unité fermée de $E$ n’est pas compact (on pourra construire une suite dont aucune sous suite n’est de Cauchy).

Que peut-on dire de la boule unité fermée de $l^\infty$ (l’espace des suites bornées muni de la norme sup)?