L3 Topologie Compacité Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPI 2 questions

exo7 6188

Soit EE un espace vectoriel normé sur C\Cc de boule unité fermée B‾\overline B et FF un sous-espace vectoriel fermé de EE. On a montré dans le liste précédente que si F≠EF\not=E,sup⁡x∈B‾d(x,F)=1.\sup_{x\in\overline B} d(x,F)=1.

On va montrer qu’un evn dont la boule unité fermée est compacte est nécessairement de dimension finie. On suppose donc que B‾\overline B est compacte.

1

Montrer que pour tout ε>0\varepsilon >0 on peut trouver un nombre fini de points x1,⋯ ,xk∈B‾x_1,\cdots,x_k\in\overline B tels que B‾⊂∪j=1kB(xj,ε)\overline B\subset\cup_{j=1}^k B(x_j,\varepsilon).

2

Montrer que EE est de dimension finie : pour cela, considérer le sous-espace vectoriel engendré par x1,⋯ ,xkx_1,\cdots,x_k.

Exercice Qtph

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