Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\) de boule unité fermée \(\overline B\) et \(F\) un sous-espace vectoriel fermé de \(E\). On a montré dans le liste précédente que si \(F\not=E\),\(\sup_{x\in\overline B} d(x,F)=1.\)
On va montrer qu’un evn dont la boule unité fermée est compacte est nécessairement de dimension finie. On suppose donc que \(\overline B\) est compacte.
1
Montrer que pour tout \(\varepsilon >0\) on peut trouver un nombre fini de points \(x_1,\cdots,x_k\in\overline B\) tels que \(\overline B\subset\cup_{j=1}^k B(x_j,\varepsilon)\).
2
Montrer que \(E\) est de dimension finie : pour cela, considérer le sous-espace vectoriel engendré par \(x_1,\cdots,x_k\).