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Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur \(\Rr\). On va montrer que l’image réciproque de tout point est non bornée. On raisonne par l’absurde :
Sinon, il existe \(a\in \Rr\) et un disque fermé \(D\) du plan tel que \(f^{-1}(\{a\})\subset D\); en étudiant \(f(D^c)\) et \(f(D)\) montrer que \(f(\Rr^2)\) ne peut être égal à \(\Rr\) tout entier.