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Soit $(a_n)$ une suite bornée de réels, telle que $(e^{ita_n})$ converge pour un ensemble non dénombrable de $t\in \Rr$; montrer que la suite $(a_n)$ converge.

Soit $f$ une application de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$ et $G$ son graphe. Montrer que si $G$ est connexe par arcs, $f$ est continue.

Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$, espaces métriques et $G$ le graphe de $f$. Montrer que $G$ est fermé dans $X\times Y$ si $f$ est continue. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $Y$ est compact.

Soit $X$ un espace métrique, $Y$ un espace métrique compact et $f:X\times Y\to \Rr$ une application continue telle que, pour tout $x\in X$, l’équation $f(x,y)=0$ ait une unique solution $y\in Y$. Montrer que l’application $u:x\in X\to y\in Y$ ainsi définie est continue.