Voici quelques applications du fait important suivant : dans un espace métrique compact, toute suite ayant une seule valeur d’adhérence converge.
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels, telle que \((e^{ita_n})\) converge pour un ensemble non dénombrable de \(t\in \Rr\); montrer que la suite \((a_n)\) converge.
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\) et \(G\) son graphe. Montrer que si \(G\) est connexe par arcs, \(f\) est continue.
Soit \(f\) une application de \(X\) dans \(Y\), espaces métriques et \(G\) le graphe de \(f\). Montrer que \(G\) est fermé dans \(X\times Y\) si \(f\) est continue. Montrer que la réciproque est vraie lorsque \(Y\) est compact.
Soit \(X\) un espace métrique, \(Y\) un espace métrique compact et \(f:X\times Y\to \Rr\) une application continue telle que, pour tout \(x\in X\), l’équation \(f(x,y)=0\) ait une unique solution \(y\in Y\). Montrer que l’application \(u:x\in X\to y\in Y\) ainsi définie est continue.