Pour tout \(y\in [0,1]\) \(f\) est continue en \((x,y)\) donc il existe un \(U(y)\) voisinage de \(x\) et \([a(y),b(y)]\) voisinage de \(y\) tel que pour \((x',y') \in U(y)\times [a(y),b(y)]\) on ait \(|f(x,y)-f(x',y')|\le \epsilon\). Comme \([0,1] \subset \bigcup_{y\in[0,1]} [a(y),b(y)]\) et que \([0,1]\) est un compact de \(\Rr\) il existe un ensemble fini \(\mathcal{Y}\) tel que \([0,1] \subset \bigcup_{y\in \mathcal{Y}} [a(y),b(y)]\). De plus quitte à réduire les intervalles ont peut supposer qu’il sont disjoints et quitte à les réordonner on peut supposer que ce recouvrement s’écrit : \[[0,1] = [0,t_1] \cup [t_1,t_2] \cup \ldots [t_k,1].\] Notons \(U = \bigcap_{y\in \mathcal{Y}} U(y)\), c’est un voisinage de \(x\) car l’intersection est finie. Pour \(x'\in U\) nous avons \[\begin{align*} |g(x)-g(x')| &= \left| \int_0^1 f(x,y)dy - \int_0^1 f(x',y)dy\right| \\ &\le \int_0^1 |f(x,y)-f(x',y)| dy \\ &\le \int_0^{t_1} |f(x,y)-f(x',y)| dy + \int_{t_1}^{t_2} \cdots + \int_{t_k}^{1} |f(x,y)-f(x',y)| dy \\ &\le \epsilon(t_1-0) + \epsilon(t_2-t_1)+\cdots +\epsilon(1-t_k) \\ &\le \epsilon \\ \end{align*}\] Donc \(g\) est continue.

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