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Justifier le fait que $A$ est non vide. Si $\alpha\notin A$, montrer qu’il existe $\varepsilon>0$ et $n_0$ tels que les points $x_n,\ n\geq n_0$, soient en dehors de $[\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon]$. Montrer ainsi que $A$ est un intervalle (si $\alpha$ et $\beta \in A$, ${\alpha+\beta\over2}\in A$).

On suppose de plus que cette suite est une suite récurrente i.e. définie par $x_{n+1}=f(x_n)$ où $f$ est continue de $[0,1]$ dans lui-même, et un point initial $x_0\in [0,1]$. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si $x\in A$, alors $x=f(x)$, et que si $x_m\in A$ pour un indice $m$, alors la suite converge.)

Soit $x=(x_n)$ une suite de $l^{\infty}$; montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $y$ de terme général $y_n={{x_1+x_2+\cdots+x_n}\over n}$ est un intervalle. En déduire que l’application $f$ de $l^{\infty}$ dans lui-même qui associe $y$ à $x$, n’est pas bijective.