On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que \(x_{n+1}-x_n\) tend vers \(0\). Soit \(A\) l’ensemble de ses valeurs d’adhérence.
Justifier le fait que \(A\) est non vide. Si \(\alpha\notin A\), montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) et \(n_0\) tels que les points \(x_n,\ n\geq n_0\), soient en dehors de \([\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon]\). Montrer ainsi que \(A\) est un intervalle (si \(\alpha\) et \(\beta \in A\), \({\alpha+\beta\over2}\in A\)).
On suppose de plus que cette suite est une suite récurrente i.e. définie par \(x_{n+1}=f(x_n)\) où \(f\) est continue de \([0,1]\) dans lui-même, et un point initial \(x_0\in [0,1]\). Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si \(x\in A\), alors \(x=f(x)\), et que si \(x_m\in A\) pour un indice \(m\), alors la suite converge.)
Soit \(x=(x_n)\) une suite de \(l^{\infty}\); montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite \(y\) de terme général \(y_n={{x_1+x_2+\cdots+x_n}\over n}\) est un intervalle. En déduire que l’application \(f\) de \(l^{\infty}\) dans lui-même qui associe \(y\) à \(x\), n’est pas bijective.