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Soit $X=[a,b]$ et on se donne une métrique $d$ sur $X$ telle que la topologie définie par $d$ est moins fine sur $X$ que la topologie usuelle. Montrer que tout sous-ensemble de $X$ compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie par $d$; puis montrer cette propriété pour les fermés.

En déduire que la topologie définie par $d$ est la topologie usuelle.