Nous allons utiliser le fait qu’un ensemble \(K\) est compact si et seulement si de toute suite d’éléments de \(K\) on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de \(K\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite convergente et soit \(\ell\) sa limite. Notons \[K = \{ u_n \mid n\in \Nn\} \cup \{ \ell\}.\]

Soit \((v_n)\) une suite d’éléments de \(K\). Si \((v_n)\) ne prend qu’un nombre fini de valeurs, on peut extraire une sous-suite constante, donc convergente. Sinon \((v_n)\) prend une infinité de valeurs. Nous allons construire une suite convergente\((w_n)\) extraite de \((v_n)\). Soit \(w_0\) le premier des \((v_0,v_1,v_2,\ldots)\) qui appartient à \(\{u_0,u_1,\ldots\}\). Soit \(w_1\) le premier des \((v_1,v_2,\ldots)\) qui appartient à \(\{u_1,u_2,\ldots\}\)... Soit \(w_n\) le premier des \((v_n,v_{n+1},\ldots)\) qui appartient à \(\{u_n,u_{n+1},\ldots\}\). Alors \((w_n)\) est une suite-extraite de \((v_n)\) et par construction \((w_n)\) converge vers la limite de \((u_n)\), donc vers \(\ell \in K\).

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