Soit \((X,d)\) un espace métrique.
1
Soit \(A\) une partie compacte de \(X\); montrer qu’il existe \(x,y\in A\) tels que diam\(A=d(x,y)\).
2
Soit \(A\) et \(B\) deux parties compactes disjointes de \(X\). Montrer qu’il existe \(\delta>0\) tel que \(d(a,b)\geq \delta\ \forall {a\in A, b\in B}\). En déduire une démonstration simple de l’exercice 10 dans le cadre métrique.
3
Montrer que le résultat est encore vrai si l’une est compacte et l’autre fermée, mais devient faux si les deux parties sont seulement fermées.