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Soit $A$ une partie compacte de $X$; montrer qu’il existe $x,y\in A$ tels que diam$A=d(x,y)$.

Soit $A$ et $B$ deux parties compactes disjointes de $X$. Montrer qu’il existe $\delta>0$ tel que $d(a,b)\geq \delta\ \forall {a\in A, b\in B}$. En déduire une démonstration simple de l’exercice 10 dans le cadre métrique.

Montrer que le résultat est encore vrai si l’une est compacte et l’autre fermée, mais devient faux si les deux parties sont seulement fermées.