L3 Topologie Compacité 2 questions

exo7 6817

Soit (X,d)(X,d) un espace métrique. On suppose que toutes les boules fermées (c’est-à-dire les ensembles de la forme {y∈X∣d(x,y)≤r}\{y\in X \mid d(x,y) \le r\}) sont compactes.

1

Démontrer que XX est complet.

2

Démontrer que si A⊂XA \subset X est fermé et borné, alors AA est compact.

Exercice rptm

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