exo7 6187

Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie. Montrer que $d(x,F)=\inf\{d(x,y),\ y\in F,\ ||y||\leq2||x||\}$; en déduire que $F$ est fermé dans $E$.

Soit $(f_n)$ une suite de polynômes qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction qui n’est pas un polynôme. Montrer que la suite des degrés tend vers l’infini (raisonner par l’absurde).