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Justifier que $f$ peut avoir au plus un point fixe.

Montrer que les ensembles $X_n=f^n(X)$, $n\in \Nn$, forment une suite décroissante de compacts et que $Y=\bigcap _{n\geq 0} X_n$ n’est pas vide.

Montrer que $Y$ est un ensemble invariant, i.e. $f(Y)=Y$, et en déduire que le diamètre de cet ensemble est zero.

Conclure que $f$ a un unique point fixe $p\in X$ et que pour tout $x_0\in X$ la suite $x_n=f^n(x_0)\to p$, lorsque $n\to \infty$.