Soit \((X,d)\) un espace métrique compact et \(f:X\to X\) une application vérifiant \[d(f(x),f(y))<d(x,y) \quad \text{pour tout } x,y \in X \; , x\neq y\; .\] Le but ici est de montrer que \(f\) a un unique point fixe \(p\in X\).
1
Justifier que \(f\) peut avoir au plus un point fixe.
2
Montrer que les ensembles \(X_n=f^n(X)\), \(n\in \Nn\), forment une suite décroissante de compacts et que \(Y=\bigcap _{n\geq 0} X_n\) n’est pas vide.
3
Montrer que \(Y\) est un ensemble invariant, i.e. \(f(Y)=Y\), et en déduire que le diamètre de cet ensemble est zero.
4
Conclure que \(f\) a un unique point fixe \(p\in X\) et que pour tout \(x_0\in X\) la suite \(x_n=f^n(x_0)\to p\), lorsque \(n\to \infty\).