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Soit $X$ un espace topologique compact et $C(X)$ l’espace des fonctions réelles continues sur $X$ avec la norme uniforme.

Soit $J$ un idéal propre de $C(X)$ ; on va montrer par l’absurde que toutes les fonctions de $J$ s’annulent en un même point de $X$ .

Sinon, montrer qu’on peut trouver $n$ points de $X$ , $x_1,\cdots,x_n$ , $V_1,\cdots,V_n$ où $V_i$ voisinage de $x_i$ et $n$ fonctions de $J$ , $f_1,\cdots,f_n$ tels que $X=\cup_i\ V_i, \ \ f_i{}_{|V_i}\not=0.$

Construire alors une fonction $g$ dans $J$ ne s’annulant jamais et en déduire que ${\bf 1}\in J$ , d’où la contradiction.

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