Soit \(X\) un espace topologique compact et \(C(X)\) l’espace des fonctions réelles continues sur \(X\) avec la norme uniforme.
Soit \(J\) un idéal propre de \(C(X)\); on va montrer par l’absurde que toutes les fonctions de \(J\) s’annulent en un même point de \(X\).
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Sinon, montrer qu’on peut trouver \(n\) points de \(X\), \(x_1,\cdots,x_n\), \(V_1,\cdots,V_n\) où \(V_i\) voisinage de \(x_i\) et \(n\) fonctions de \(J\), \(f_1,\cdots,f_n\) tels que \[X=\cup_i\ V_i, \ \ f_i{}_{|V_i}\not=0.\]
2
Construire alors une fonction \(g\) dans \(J\) ne s’annulant jamais et en déduire que \({\bf 1}\in J\), d’où la contradiction.