L3 Topologie Compacité 2 questions

exo7 2381

Soient (E,d)(E,d) un espace métrique compact et f:E→Ef:E\rightarrow E une application vérifiant d(f(x),f(y))≥d(x,y)pour tout    x,y∈E  .d(f(x),f(y)) \geq d(x,y) \quad \text{pour tout} \;\; x,y \in E \; . On se propose de montrer que ff est une isométrie surjective. Soient a,b∈Ea,b\in E et posons, pour n≥1n\geq 1, an=fn(a)=f∘fn−1(a)a_n =f^n(a)=f\circ f^{n-1}(a) et bn=fn(b)b_n = f^n(b).

1

Montrer que pour tout ϵ>0\epsilon >0, il existe k≥1k \geq 1 tel que d(a,ak)<ϵd(a,a_k)<\epsilon et d(b,bk)<ϵd(b,b_k)< \epsilon (Considérer une valeur d’adhérence de la suite zn=(an,bn)z_n=(a_n,b_n)).

2

En déduire que f(E)f(E) est dense dans EE et que d(f(a),f(b))=d(a,b)d(f(a),f(b)) =d(a,b) (Considérer la suite un=d(an,bn)u_n =d(a_n,b_n)).

Exercice QpgG

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