Soient \((E,d)\) un espace métrique compact et \(f:E\rightarrow E\) une application vérifiant \[d(f(x),f(y)) \geq d(x,y) \quad \text{pour tout} \;\; x,y \in E \; .\] On se propose de montrer que \(f\) est une isométrie surjective. Soient \(a,b\in E\) et posons, pour \(n\geq 1\), \(a_n =f^n(a)=f\circ f^{n-1}(a)\) et \(b_n = f^n(b)\).
1
Montrer que pour tout \(\epsilon >0\), il existe \(k \geq 1\) tel que \(d(a,a_k)<\epsilon\) et \(d(b,b_k)< \epsilon\) (Considérer une valeur d’adhérence de la suite \(z_n=(a_n,b_n)\)).
2
En déduire que \(f(E)\) est dense dans \(E\) et que \(d(f(a),f(b)) =d(a,b)\) (Considérer la suite \(u_n =d(a_n,b_n)\)).