Si $A$ est compact et $B=\{b\}$ avec $b\notin A$ . Soit $a\in A$ alors $a \neq b$ donc il existe un voisinage ouvert de $a$ , $U_a$ et un voisinage ouvert de $b$ , $V_a$ tels que $U_a \cap V_a = \varnothing$ . Bien évidemment $A \subset \bigcup_{a\in A} U_a$ . Comme $A$ est compact on peut extraire un ensemble fini $\mathcal{A} \subset A$ tel que $A \subset \bigcup_{a\in \mathcal{A}} U_a = : U^b$ . Notons alors $V^b := \bigcap_{a\in \mathcal{A}} V_a$ . $U^b$ est ouvert comme union d’ouverts et $V^b$ est ouvert comme intersection finie d’ouverts. De plus $U^b\cap V^b= \varnothing$ . Maintenant $B$ est compact. Pour chaque $b\in B$ le point précédent nous fournit $U^b$ et $V^b$ disjoints qui sont des voisinages ouverts respectifs de $A$ et $b$ . On a $B \subset \bigcup_{b\in B} V^b$ . On extrait un ensemble fini $\mathcal{B}$ de telle sorte que $B \subset \bigcup_{b\in \mathcal{B}} V^b =: V'$ . $V'$ est un voisinage ouvert de $B$ . Et si $U':= \bigcap_{b\in \mathcal{B}} U^b$ alors $U'$ est un ouvert contenant $A$ , et $U' \cap V' = \varnothing$ .

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