L3 Topologie Compacité 3 questions

exo7 6201

Soit EE l’ensemble des suites infinies de nombres réels x=(x1,x2,⋯ )x=(x_1,x_2,\cdots) à valeurs 00 ou 11. Si xx et yy sont deux éléments de EE, on pose d(x,y)=sup⁡k≥1(1k∣xk−yk∣)d(x,y)=\sup_{k\geq1}({1\over k}\vert x_k-y_k\vert)

1

Montrer que dd est une distance sur EE.

2

Soit ε>0\varepsilon>0; montrer qu’il existe une partie finie EεE_\varepsilon de EE qui possède la propriété suivante : les boules fermées de rayon ε\varepsilon centrées en un point de EεE_\varepsilon recouvrent EE.

3

Montrer que EE est compact.

Exercice NEg6

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