Soit \(E\) l’ensemble des suites infinies de nombres réels \(x=(x_1,x_2,\cdots)\) à valeurs \(0\) ou \(1\). Si \(x\) et \(y\) sont deux éléments de \(E\), on pose \[d(x,y)=\sup_{k\geq1}({1\over k}\vert x_k-y_k\vert)\]
1
Montrer que \(d\) est une distance sur \(E\).
2
Soit \(\varepsilon>0\); montrer qu’il existe une partie finie \(E_\varepsilon\) de \(E\) qui possède la propriété suivante : les boules fermées de rayon \(\varepsilon\) centrées en un point de \(E_\varepsilon\) recouvrent \(E\).
3
Montrer que \(E\) est compact.