Notons $\ell = \mathrm{dist}(K,F)$ . Alors il existe $(x_n)$ suite d’éléments de $K$ et $(y_n)$ suite d’éléments de $F$ telles que $\|x_n - y_n\| \rightarrow \ell$ . Comme $K$ est compact alors on peut extraire de $(x_n)$ une sous-suite $(x_{\phi(n)})$ qui converge dans $K$ . Notons $a\in K$ cette limite Alors la suite extraite $(y_{\phi(n)})$ est bornée car $\| y_{\phi(n)} \| \le \| y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}\| + \|x_{\phi(n)}\|.$ La suite $(x_{\phi(n)})$ qui converge est donc bornée, et la suite $(\| y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}\|)$ qui converge dans $\Rr$ (vers $\ell$ ) est bornée également. Donc la suite $(y_{\phi(n)})$ est bornée on peut donc en extraire une sous-suite convergente $(y_{\phi\circ \psi (n)})$ . De plus comme $F$ est fermé alors cette suite converge vers $b\in F$ . La suite $(x_{\phi\circ \psi (n)})$ extraite de $(x_{\phi(n)})$ converge vers $a\in K$ . Et comme nous avons extrait deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ on a toujours $\|x_{\phi\circ \psi (n)} - y_{\phi\circ \psi (n)}\| \rightarrow \ell$ . A la limite nous obtenons $\| a-b\| = \ell$ avec $a\in K$ et $b\in F$ . Remarque : si $K$ était supposé fermé mais pas compact alors le résultat précédent pourrait être faux. Par exemple pour $K = \{ (x,y) \in \Rr^2 \mid xy \ge 1 \text { et } y \ge 0\}$ et $F = \{ (x,y) \in \Rr^2 \mid y \le0\}$ nous avons $d(K,F) = 0$ mais $K\cap F = \varnothing$ .

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