On se donne une métrique \(d\) sur \(X=[0,1]\) telle que l’identité \(i: (X, |.|) \to (X,d)\) soit continue (i.e. la topologie définie par \(d\) est moins fine que la topologie usuelle de \(X\)).
1
Montrer que tout sous-ensemble de \(X\) compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie par \(d\); puis montrer cette propriété pour les fermés.
2
En déduire que la topologie définie par \(d\) est la topologie usuelle.