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Soit $J$ un idéal propre de $C(X)$ ; montrer que toutes les fonctions de $J$ s’annulent en un même point de $X$. Indication : raisonner par l’absurde, utiliser le fait qu’une fonction continue $\neq0$ en $x$, est $\neq0$ sur un voisinage de $x$ et recouvrir $X$ avec de tels voisinages.

Pour $f\in J$, on note $Z_f=f^{-1}(\{0\})$, l’ensemble des zéros de $f$.

Soit $J$ un idéal de $C(X)$ et $Z=\cap_{f\in J}Z_f$; $Z$ est fermé.

Soit $K$ un fermé de $X$ disjoint de $Z$. Par un raisonnement analogue à celui du 1., construire $f\in J$, $f\geq 0$ et ne s’annulant pas sur $K$.

Etudier la limite $F$ de ${nf\over{1+nf}}$ dans $C(X)$.

Montrer que si $g\in C(X)$ s’annule sur un ouvert contenant $Z$, alors $g\in J$ et $Z\neq\emptyset$.

Soit $g\in C(X)$ nulle sur $Z$; par un bon choix de $K$, montrer que $g\in \overline J$.