Soit \(X\) un espace topologique compact et \(C(X)\) l’espace des fonctions continues sur \(X\) avec la norme uniforme.
Soit \(J\) un idéal propre de \(C(X)\) ; montrer que toutes les fonctions de \(J\) s’annulent en un même point de \(X\). Indication : raisonner par l’absurde, utiliser le fait qu’une fonction continue \(\neq0\) en \(x\), est \(\neq0\) sur un voisinage de \(x\) et recouvrir \(X\) avec de tels voisinages.
Pour \(f\in J\), on note \(Z_f=f^{-1}(\{0\})\), l’ensemble des zéros de \(f\).
Soit \(J\) un idéal de \(C(X)\) et \(Z=\cap_{f\in J}Z_f\); \(Z\) est fermé.
Soit \(K\) un fermé de \(X\) disjoint de \(Z\). Par un raisonnement analogue à celui du 1., construire \(f\in J\), \(f\geq 0\) et ne s’annulant pas sur \(K\).
Etudier la limite \(F\) de \({nf\over{1+nf}}\) dans \(C(X)\).
Montrer que si \(g\in C(X)\) s’annule sur un ouvert contenant \(Z\), alors \(g\in J\) et \(Z\neq\emptyset\).
Soit \(g\in C(X)\) nulle sur \(Z\); par un bon choix de \(K\), montrer que \(g\in \overline J\).