Soit \(X\) un espace métrique compact et \((f_n)\) une suite d’applications continues à valeurs dans un espace métrique \(Y\), convergeant vers \(f\) uniformément sur \(X\). Montrer que si \((x_n)\) est une suite de points de \(X\) convergeant vers \(x\in X\), alors \(f_n(x_n)\) tend vers \(f(x)\).
Application : Soit \(X\) un espace métrique compact, et soit \((f_n)\) une suite d’applications de \(X\) dans \(X\), ayant chacune un point fixe; on suppose que la suite \((f_n)\) converge vers une fonction \(f\) uniformément sur \(X\). Montrer que \(f\) a aussi un point fixe.
Soit \(K\) un convexe compact de \(\Rr^n\) et \(f\) une application continue de \(K\) dans \(K\) vérifiant \[\Vert f(x)-f(y)\Vert \leq \Vert x-y\Vert;\] En considérant les fonctions \(f_n\) définies sur \(K\) par \(f_n(x)={1\over n}f(x_0)+(1-{1\over n})f(x)\), où \(x_0\in K\), montrer que \(f\) a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il si \(K\) n’est plus convexe ?