Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note \(f_a\) la translatée de \(f\) par \(a\), ie la fonction \(x\to f(x-a)\), et \(O_f\) l’ensemble des translatées de \(f\).
Montrer que si \(f\) est périodique, \(O_f\) est compact (considérer l’application \(a\to f_a\)).
Soit \(f\) une limite uniforme sur \(\Rr\) de fonctions périodiques; montrer que \(O_f\) est précompact.
On suppose cette fois \(O_f\) précompact; on va montrer que \(f\) est uniformément continue.
De toute suite \((f_{a_n})\) de \(O_f\) on peut extraire une sous-suite convergente dans \(E\).
Si \(x_n-y_n\) tend vers \(0\), montrer que \((f_{x_n-y_n})\) n’a qu’une valeur d’adhérence \(f\); en déduire que \(f(x_n)-f(y_n)\) tend vers \(0\).
Montrer que \(f\) est uniformément continue.