L3 Topologie Compacité Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 6 questions

exo7 6200

Soit E=Cb(R)E=C_b(\Rr) muni de la norme uniforme; pour f∈Ef\in E, on note faf_a la translatée de ff par aa, ie la fonction x→f(x−a)x\to f(x-a), et OfO_f l’ensemble des translatées de ff.

1

Montrer que si ff est périodique, OfO_f est compact (considérer l’application a→faa\to f_a).

2

Soit ff une limite uniforme sur R\Rr de fonctions périodiques; montrer que OfO_f est précompact.

3

On suppose cette fois OfO_f précompact; on va montrer que ff est uniformément continue.

4

De toute suite (fan)(f_{a_n}) de OfO_f on peut extraire une sous-suite convergente dans EE.

5

Si xn−ynx_n-y_n tend vers 00, montrer que (fxn−yn)(f_{x_n-y_n}) n’a qu’une valeur d’adhérence ff; en déduire que f(xn)−f(yn)f(x_n)-f(y_n) tend vers 00.

6

Montrer que ff est uniformément continue.

Exercice JF7a

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