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On appelle valuation une application $v :\Cc(X)\rightarrow {\Zz}\cup \{\infty \}$ telle que : $\lambda \in \Cc^{*}\Rrightarrow v(\lambda )=0,v(0)=\infty ,\exists a\in \Cc(X):v(a)=1$ $$\forall (f,g)\in \Cc(X)^{2},v(fg)=v(f)+v(g)$$ $$\forall (f,g)\in \Cc(X)^{2},v(f+g)\geq \min (v(f),v(g))$$ (avec les convention évidentes $k+\infty =\infty ,\forall k\geq 1:k\infty =\infty ,0\infty =0$, etc.) Déterminer toutes les valuations de $\Cc(X)$ et montrer la formule (la somme portant sur toutes les valuations) : $$\forall f\in \Cc(X)-\{0\},\sum\limits_{v}v(f)=0.$$