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Une suite \((x_n)\) est définie par une relation de récurrence \(x_{n+1}=a\sin x_n+b\) où \(a\) est un nombre réel de \(\mathopen]0,1\mathclose[\) et \(b\) un nombre réel quelconque. Montrer que pour tout \(p\in\mathbf{N}\), \(\vert x_{p+1}-x_p\vert\leq a^p\vert x_1-x_0\vert\). En déduire que la suite \((x_n)\) est une suite de Cauchy.
Combien de termes faut-il calculer pour obtenir une valeur approchée de \(\lim x_n\) à \(10^{-10}\) près si on suppose \(a=1/2\), \(b=5\), \(x_0=1\) ?