L1 Analyse Suite 1 question

exo7 1211

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Une suite (xn)(x_n) est définie par une relation de récurrence xn+1=asin⁡xn+bx_{n+1}=a\sin x_n+b où aa est un nombre réel de ]0,1[\mathopen]0,1\mathclose[ et bb un nombre réel quelconque. Montrer que pour tout p∈Np\in\mathbf{N}, ∣xp+1−xp∣≤ap∣x1−x0∣\vert x_{p+1}-x_p\vert\leq a^p\vert x_1-x_0\vert. En déduire que la suite (xn)(x_n) est une suite de Cauchy.

Combien de termes faut-il calculer pour obtenir une valeur approchée de lim⁡xn\lim x_n à 10−1010^{-10} près si on suppose a=1/2a=1/2, b=5b=5, x0=1x_0=1 ?

Exercice yrbf

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