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Soit $f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}$ la fonction définie par $f(x)=0$ si $x \leq 0$ et $\displaystyle{ f(x)=\hbox{exp }(\frac{-1}{ x}) }$ sinon. Calculer, pour tout $n \in { \Nn} ,$ le développement limité de $f$ en $0 .$ Quelles conclusions en tirer ?

Soit $g : { \Rr} \rightarrow { \Rr}$ la fonction définie par $g(0)=0$ et, si $x \not = 0 :$ $\displaystyle{ g(x)=x^3\hbox{sin} (\frac{1}{ x}) }.$ Montrer que $g$ a un développement limité d’ordre $2$ en $0$ mais n’a pas de dérivée seconde (en $0$).