Lorsque \(x\to -\infty\) la situation est tout autre car \[\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt {x^2+3x+2} = +\infty \quad \text{ et } \quad \lim_{x \rightarrow -\infty} x = -\infty\] donc \(\sqrt {x^2+3x+2} +x\) est une forme indéterminée !

Calculons un développement limité à l’ordre \(1\) en \(-\infty\) en faisant très attention au signe (car par exemple \(|x|=-x\)): \[\begin{align*} \sqrt{x^2+3x+2} +x & = |x| \left( \sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}} -1 \right) \\ & = |x| \left( 1+\frac12\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)+o(\frac1x) \ -1) \right) \\ & = |x| \left( \frac12\frac{3}{x}+o(\frac1x) \right) \\ & = -\frac32 + o(1) \\ \end{align*}\] Et donc \[\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt {x^2+3x+2} +x = -\frac32\]

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