Pour tout entier \(n\), on a \[u_{n+1}-u_{n}=\frac{n+1-1}{n+1+2}-\frac{n-1}{n+2}=\frac{n}{n+3}-\frac{n-1}{n+2}=\frac{n(n+2)-(n-1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{3}{(n+3)(n+2)}\] Puisque pour tout entier naturel \(n\), \(n+2>0\) et \(n+3>0\), on en déduit que pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_{n}>0\).
Bilan : la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Notons les suites respectivement \(v, w\) et \(z\). De la même manière, pour tout entier \(n\geq 1\) : \[v_{n+1}-v_n=\frac{(n+1)^2+1}{n+1}-\frac{n^2+1}{n}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}\] Pour tout \(n\geq 1\), on a \(n-1\geq 0\) et donc \(n-1+n^2\geq 0\) (car \(n^2\geq 0)\). Ainsi \[\forall~n\geq 1,~v_{n+1}-v_n\geq 0\] Bilan : la suite \((v_n)_{n\geq 1}\) est croissante. Pour tout \(n\geq 1\), on a \[w_{n+1}-w_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}-\frac{2^n}{n}=\frac{2^{n+1}n-2^n(n+1)}{n(n+1)}=\frac{2^n(n-1)}{n(n+1)}\] Pour \(n\geq 1\), on a \(2^n>0\), \(n-1\geq 0\) et \(n(n+1)>0\). Par quotient, pour tout entier \(n\geq 1\), \(w_{n+1}-w_n\geq 0\).
Bilan : la suite \((w_n)_{n\geq 1}\) est croissante. Pour tout entier \(n\), on a \[z_{n+1}-z_n=\frac{n+1}{2(n+1)-1}-\frac{n}{2n-1} = \frac{(n+1)(2n-1)-n(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{-1}{(2n-1)(2n+1)}\] Pour tout entier \(n\geq 1\), on a \(2n-1>0\) et \(2n+1>0\) donc par quotient, \[\forall~n\geq 1,~z_{n+1}-z_n<0\] Bilan : la suite \((z_n)\) est strictement décroissante à partir du rang \(1\).

Variations