Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel par \(u_0=2\) et \[u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}\]
1
Démontrer que si \(u_{n+1}=1\) alors \(u_n=1\). En déduire que pour tout \(n\), \(u_n\neq 1\).
2
On pose pour tout entier \(n\), \(v_n=\displaystyle{\frac{1}{u_n-1}}\). Démontrer que la suite \((v_n)\) est arithmétique, puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
3
En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).