L1 Analyse Suite Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1198

1

Soit (un)n∈N(u_n)_{n\in { \Nn}} une suite de nombres réels telle que les suites extraites (u2n)n∈N(u_{2n})_{n\in { \Nn}} et (u2n+1)n∈N(u_{2n+1})_{n\in { \Nn}} convergent vers une même limite ℓ.\ell . Montrer que (un)n∈N(u_n)_{n\in { \Nn}} converge également vers ℓ.\ell .

2

En déduire que la suite (un)n∈N(u_n)_{n\in { \Nn}} de terme général un=∑k=0n(−1)k(2k)!\displaystyle{ u_n =\sum _{k=0}^n \frac{ (-1)^k }{ (2k)!}} converge.

Exercice bJE9

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