Supposons sans perte de généralité $u$ croissante (quite à remplacer $u$ par $-u$ ). Dans ce cas, ou bien $u$ converge, ou bien $u$ tend vers $+\infty$ . Supposons que $u$ tende vers $+\infty$ , et montrons qu’il en est de même pour la suite $v$ . Soit $A\in\Rr$ . Il existe un rang $n_0$ tel que pour n naturel supérieur ou égal à $n_0$ , $u_n\geq2A$ . Pour $n\geq n_0+1$ , on a alors,

$\begin{align*} v_n&=\frac{1}{n+1}\left(\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\sum_{k=n_0+1}^{n}u_k\right)\geq \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1} \end{align*}$ Maintenant, quand $n$ tend vers $+\infty$ , $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1}$ tend vers $2A$ et donc, il existe un rang $n_1$ à partir duquel $v_n\geq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1}>A$ . On a montré que : $\forall n\in\Nn,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_1\Rightarrow v_n>A)$ . Par suite, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$ . Par contraposition, si $v$ ne tend pas vers $+\infty$ , la suite $u$ ne tend pas vers $+\infty$ et donc converge, d’après la remarque initiale.

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